网站原创摘 要 ：由于δ函数的特殊性,学生对这个函数的学习和理解有相当的困难.为了更好地掌握这个知识点,本文对这个知识点的课堂教学进行了精心的设计,有助于学生理解这个知识点,并作了适当的扩展.
关 键 词 ：δ函数；时间函数；邻域；狄拉克定义
δ函数特有的搬移性和抽样特性,使这个函数成为计算机数学以及信号处理的必备知识点之一,是后继学习的基础,其应用也十分广泛.由于这个函数的特殊性,学生对这个函数的学习和理解有相当的困难.为了更好地掌握这个知识点,对这节课的教学必须进行精心的设计,才能达到预期的教学效果.下面是作者在教学过程中的一些教学设想,在自己进行教学实践之后,和大家一起研讨.
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1. 导入阶段
1.1 时间函数的概念
从小学的应用题开始,数学教学便渗透着函数的思想和方法,以后逐渐接触到函数的概念、函数的单调性、周期性以及有界性等函数的知识.在各种函数中,时间函数是与时间有关的数量关系,例如：路程与时间的关系、速度与时间的关系等等,也就是说,时间函数就是时间变量表达出来的一个与时间有关的数量关系.
由于δ函数可以视为一个非常特殊的时间函数,提出时间函数的概念,有助于引导学员从物理现象的时间变化来理解δ函数.
1.2 δ函数的引入
在明确时间函数的概念后提出：以前学习过的时间函数都是时间持续的函数,它们不能描述某个动作只发生在一个瞬间的情况.例如：闪电在很短的时间内有很大的能量释放；又如锤击在很短的时间内产生强大的冲击力.准确地描述这些现象,并把这些现象抽象化,便得到δ函数的概念.
2. δ函数的概念
2.1 分析锤击过程中物体受到的冲量和时间的关系
分析锤击物体过程中的时间与冲量的关系如下：
锤和物体接触的时间很短,作用时间在0的一个无限小的邻域内.冲击力的产生时间就是这个0的无限小的领域内,在不为0的任何时刻,锤和物体没有接触,冲量为0..据此作出锤击的示意图.（如图1）
根据物理学的知识,我们知道：只要力不为0,该物体受到的冲量也不可能为0,因为物体一定会受到一个冲击作用.但是在不为0的任何时刻,冲量等于0.换句话说,冲量不为0的时间区域为锤和物体的短暂接触时间,这个时间无限短,即在0的无限小领域内.
2.2 δ函数的概念
4.δ函数的简单扩展
符号函数是我们以前学习过的知识.通过符号函数容易认识到：部分与δ函数有关的函数,我们是学习过的.所有与δ函数有关的函数,即由δ函数通过各种运算、变换得到的函数都叫奇异函数.符号函数就是一个奇异函数,提出这一点,有助于后面章节理解奇异函数的概念.