网站原创有这样一则幽默的故事：一个牧师的烟瘾非常大.有一次,他问他的上司：“祈祷的时候能不能抽烟?”上司回答：“绝对不行!”后来,他又换了一种问法：“抽烟的时候可不可以祈祷呢?”结果他得到了肯定的回答.由此可见,问法不同,有时答案竟会截然相反.
对于同一事物,从不同的角度提出问题,有时会有意外的收获.上述故事中牧师的两个问题中,前者的条件是“祈祷”,目的是“抽烟”；后者的条件是“抽烟”,目的是“祈祷”.当我们在学习中遇到问题时,如果一时难以解答,那么不妨把问题的条件或结论变换一下,往往会豁然开朗,使思路打开.下面请看几例有趣的数学问题.
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一、分子分母倒一倒
对于有些含有分式的数学问题,在求解时若能把分子分母颠倒,可以使问题简化,立见奇效,快捷求解.
例1 已知a是方程x2 + x -等于 0的一个根,则的值等于________.
解：∵a是方程x2 + x -等于 0的一个根,则有a2 + a -等于 0,故a2 + a 等于.
对所求值的式子取倒数得：
等于（a2+a-1）+等于（a2+a-1）+等于（-1）+等于
故等于20.
例2 已知x +等于 3,求的值.
解：由于等于x2+1+等于（x+）2-1等于8,所以等于.
二、主元客元倒一倒
例3 已知关于x的方程x3 - ax2 - 2ax + a2 -1 等于 0有且只有一个实根,求实数a的取值范围.
解析 此题若按x为未知元直接求解比较困难.若变原方程的常数a为主元,而把未知数视为常数,将原方程整理成关于a的一元二次方程来处理,问题便可迎刃而解.
解：原方程化为a2 - （x2 + 2x）a + x 3 - 1 等于 0,易得：a 等于 x - 1或a 等于 x2 + x + 1,即x 等于 a + 1或x2 + x + 1 - a 等于 0
∵原方程只有一个实根,∴必有x2 + x + 1- a 等于 0无实根.
∴△等于1 - 4（1 - a） < 0,a <,故实数a的取值范围为a <.
三、、正面反面倒一倒
有些数学问题,从正面思考困难很大,若分析研究问题的反面,则可能使问题简捷获解.
例4 某校准备用淘汰制从123名运动员中选出一名优胜者,应当安排多少场比赛?
解析 若把运动员编上号,画一张表格再数一数共需安排多少场比赛,这样做太麻烦.若反过来想,从123名运动员中选出一名优胜者,这相当于从123名运动员中淘汰掉122名运动员.因为一场比赛淘汰一名运动员,要淘汰122名运动员,当然要安排122场比赛.
例5 在自然数1～500中,既不是平方数,又不是立方数的数共有______.
解析 考虑自然数1～500中的平方数与立方数,易知有平方数1,4,9,等,484共22个,有立方数1,8,27,64,125,216,343共7个.其中1与64既是平方数又是立方数,因此自然数1～500中是平方数或立方数的共有27个,那么既不是平方数又不是立方数的数应有：500 -27 等于 473个.
四、过程前后倒一倒
例6 池塘中的某种水生植物每长一天,它的覆盖面积为原来的2倍.若经过20天可以长满整个池塘,问经过多少天此种水生植物能长满整个池塘的?
解析 因为水生植物每长一天,它的覆盖面积为原来的2倍.经过20天长满整个池塘,所以第19天已长满池塘的；照此下去,第18天以长满池塘的；第17天以长满池塘的；第16天以长满池塘的.至此问题获解,简单明了,通俗易懂.
五、关系是否倒一倒
例7 在1到1000之间有多少个数不是100的整数倍?
解析 不是100的整数倍的反面是100的整数倍.因为1到1000之间是100的整数倍的数是100、200、等、1000共10个,所以1到1000之间不是100的整数倍的数共有990个.
六、顺序先后倒一倒
把问题所发生的先后顺序进行适当的倒换,有时会使问题简单易解.
例8 有甲、乙、丙三个箱子,各装有若干个乒乓球,先由甲取出一皮球放进乙、丙箱子中,所放之数分别是乙、丙现有之数；再由乙箱取出一批球放进甲、丙箱中,所放之数分别是甲、丙现有之数；最后按同样的规则将丙箱中的一批球放进甲、乙箱中,结果甲、乙、丙箱中的球恰好都为32个.问甲、乙、丙箱中开始时各有多少个球?
解析 在最后一步（丙箱分球给甲、乙）之前一刻,甲箱有球32 × 等于 16（个）,乙箱有球32 × 等于 16（个）,丙箱有球32 + 16 + 16 等于 64（个）.再推回乙箱将分球给甲、丙但还未分的那一刻,甲箱有球16 ×等于 8（个）,丙箱有球64 ×等于 32（个）,乙箱有球16 + 8 + 32 等于 56（个）.
因此还未分球时,乙箱有球56 ×等于 28（个）,丙箱有球32 等于 16（个）,甲箱有球8 + 28 + 16 等于 52（个）.
七、次序前后倒一倒
有些问题,通过前后顺序倒一到,可使问题化繁为简,快速求解
例9 解：设原式为S,那么S等于+（+）+（++）等++等+）
这时2S 等于 1 + 2 + 3 + 等 + 59,同时2S 等于 59 + 58 + 57 + 等 + 1,于是4S 等于 59 × 60,故S 等于等于885.
（作者单位：安徽省灵璧县黄湾中学）