妙用运算律巧解对数题

下面先给出换底公式及其证明,然后再推导出四条特殊运算律.

换底公式：logbN等于logaNlogab.

证明：设logbN＝x,则bx＝N.

两边均取以a为底的对数,得

logabx等于logaN,

∴xlogab等于logaN,

∴x等于logaNlogab,即logbN等于logaNlogab.

运算律1——外移律：loganbm等于mnlogab.

本推论可称为“外移公式”,即底数与真数的幂分别外移成一个分数的分子与分母.

特例：当m＝n时,有

loganbn等于logab,log1a1b等于logab,

log1ab等于loga1b等于－logab.

证明：由换底公式,得

loganbm等于logabmlogaan等于mnlogab.

例1 计算：log89log2732.

分析：本题可用外移公式解决.

解：原式＝log2332log3325

等于(23log23)(53log32)

等于23×53等于109.

运算律2——连锁律：logablogbclogcd等于logad.

本推论可称“连锁律”.

特例：logablogba等于1,logab等于1logba.

证明：由换底公式,得

logablogbclogcd等于logmblogmalogmclogmblogmdlogmc等于logad.

例2 已知log34log48log8m等于log416,求m的值.

分析：根据本题的特征,可利用“连锁律”解决.

解：由已知,得log3m等于log416,

即log3m等于2,得m＝3＝9.

运算律3——真数互换律：logxalogyb等于logxblogya.

推广：logxalogyblogzc等于logxblogyclogza等于logxclogyalogzb.

本推论特点是“真数互换律”.

证明：由logab等于logxblogxa等于logyblogya,

即有logxalogyb等于logxblogya.

还可推广为：

logxalogyblogzc

等于logxblogyclogza等于logxclogyalogzb.

例3 求log2125log318log519的值.

分析：对于不同底的对数相乘,可利用“真数互换律”.

解：原式＝log218log319log5125

等于(－3)×(－2)×(－2)等于－12.

运算律4——底真互换：alogcb等于blogca.

本推论特点是“底、真互换”.

证明：由推论3知,logcblogca等于logcalogcb,

∴logcalogcb等于logcblogca,即alogcb等于blogca.

例4 求7lg2012lg0.7的值.

解：原式＝71+lg221－lg7等于(7×2)(7lg2×2－lg7)等于14(2lg7×2－lg7)＝14.

例5 解方程2xlg33lgx－5xlg3－3＝0．

解：由推论4知,3lgx等于xlg3,则原方程可化为

2(xlg3)2－5xlg3－3＝0,

即(2xlg3＋1)(xlg3－3)＝0.

∵x＞0,有2xlg3＋1＞0.

从而xlg3－3＝0,解之,得xlg3＝3,即x＝10.

例6 解方程7log3(2x2－9x+14)等于4log37.

解：由推论4,得4log37＝7log34,

故原方程可化为7log3(2x2－9x+14)等于7log34.

∴log3(2x2－9x+14)等于log34.

∴2x2－9x＋14＝4,解之,得x＝2或x＝52.

经检验,它们都是原方程的解.

例7 设a＞0,且a≠1,解关于x的方程algxxlga－2(algx+xlga)+3等于0.

解：由推论4,可设t＝algx＝xlga,则原方程可化为t2－4t＋3＝0,解之,得t＝1或t＝3,

即xlga＝1或xlga＝3.

故x＝31lga或,x＝1.

经检验,它们都是原方程的解.

运算律5——运用乘法公式.

指利用平方差、立方差、完全平方公式等,进行因式分解(或逆用),从而使问题简化.

例8 计算以下各式：

（1）lglg25－lg22lg25－lg4；

（2）lg35＋lg32＋3lg2lg5.

解：（1）分子利用平方差公式即可分解,得

原式＝lg(lg5+lg2)(lg5－lg2)2lg5－2lg2

等于lglg2+lg52等于lg12等于－lg2.

（2）逆用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)即得.

原式＝lg35＋lg32＋3lg2lg51

＝lg35＋lg32＋3lg2lg5(lg2＋lg5)

＝(lg2＋lg5)3＝(lg10)2＝1.

（作者单位：河南省泌阳一高）